Logs as percentage changes in a log-level-model

In the Econometrics class I taught last winter term, I explained why the coefficient of a regressor in levels can be interpreted as approximately the percentage increase of the dependent variable in logs. I have searched the web and textbooks for a concise, straightforward derivation but found none, so I made my own. I guess it's worth sharing. If this helps you, let me know in the comments.

With Taylor's theorem (see also Taylor series) we can approximate the natural logarithm around some a>0 by:

 \ln(t) \approx \ln(a) + \ln'(a) \cdot (t-a)


Recall that the first derivative of the natural logarithm is \ln'(t)=\frac{1}{t} with x>0.
Then the above approximation becomes:

\ln(t) \approx \ln(a) + \frac{1}{a} \cdot (t-a)


Note that this approximation becomes the worse, the larger the difference of t-a, i.e. the farther one is away from the expansion point a.

We are interested in an approximation for the log of a percent increase \ln(1+p), so let t=1+p:

\ln(1+p) \approx \ln(a) + \frac{1}{a} \cdot (1+p-a)


Further, let a=1:
\begin{align*}
&\ln(1+p) \approx \ln(1) + \frac{1}{1} \cdot (1+p-1) \\
&\ln(1+p) \approx 0 + 1 \cdot p \\
&\ln(1+p) \approx p \\
\end{align*}

The percentage change  p is given by the new  value minus the initial value all divided by the initial value.

p=\frac{(z+\Delta z) - z}{z} = \frac{z+\Delta z}{z} - \frac{z}{z} = \frac{z+\Delta z}{z} - 1 = \frac{\Delta z}{z}

Now consider the log-level model:

\ln(\hat{y}) = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x

Increasing x by one:

\ln(\hat{y}_\text{new}) = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 (x+1)

The difference is then:
\begin{align*}
\ln(\hat{y}_\text{new}) - \ln(\hat{y}) &= \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 (x+1) - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 x \\
\ln(\frac{\hat{y}_\text{new}}{\hat{y}}) &= \hat{\beta}_1 \\
\ln(\frac{ \hat{y} + \Delta \hat{y}}{\hat{y}}) &= \hat{\beta}_1 \\
\ln(1 + \frac{\Delta\hat{y}}{\hat{y}}) &= \hat{\beta}_1 \\
\ln(1+p) &= \hat{\beta}_1\\
p &\approx \hat{\beta}_1
\end{align*}

From this, we can also see that the exact percent change is:
\begin{align*}
\ln(1+p) &= \hat{\beta}_1\\
p &= e^{\hat{\beta}_1} - 1
\end{align*}

A quick comparison of the approximation and the exact value shows that the approximation is less than 5% off of the exact value if |p|<0.1, that is, if the change is less than \pm 10\%.

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Leseempfehlung: "NBER Summer Lectures"

Über einen Tweet von @MarkThoma bin ich auf einen Blogartikel von Francis X. Diebold gestoßen, der die - wohl nicht ganz so bekannten - NBER Summer Lectures verlinkt hat.

Das NBER veranstaltet jeden Sommer ein Summer Institute über (zumeist) ökonometrische Methoden und hat die Vorträge samt Präsentationen online zur Verfügung gestellt. Dort, wo die Vorlesungen über Vimeo bereitgestellt werden, sind sie wohl auch als Download verfügbar, um sie offline - etwa im Zug - anzuschauen.

http://www.nber.org/econometrics_minicourse_2013
http://www.nber.org/econometrics_minicourse_2012
http://www.nber.org/econometrics_minicourse_2011
http://www.nber.org/econometrics_minicourse_2010
http://www.streamingmeeting.com/webmeeting/matrixvideo/nber/index.html
http://www.nber.org/minicourse_2008.html
http://www.nber.org/minicourse3.html

Die Vorlesungsreihe ist wohl insbesondere für fortgeschrittene Masterstudenten oder Doktoranden interessant, weil vieles einfach vorausgesetzt wird.

Ein bisschen weitergeklickt: Auch die Fed hat solche Lectures bei Vimeo: http://vimeo.com/album/2509117

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OMT ain't no LOLR

It's quite funny to see, how many people seem not to grasp what the ECB's Outright Monetary Transactions (OMT) really are. Quite a number of people out there confuse this with a central bank's task to act as a lender of last resort (LOLR).
The difference is simple - in fact so simple, I would never have thought that there could be any confusion about LOLR at all.

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Neubau der Europäischen Zentralbank, Frankfurt am Main, Juni 2013

Wirkungslose Geldpolitik

Neubau der Europäischen Zentralbank, Frankfurt am Main, Juni 2013

Neubau der Europäischen Zentralbank, Frankfurt am Main, Juni 2013

Anfang des Monats sah man das Erreichen eines weiteren Rekords: So tief war der Leitzinssatz der EZB noch nie. Als Grund nannten die Zentralbanker die anhaltende Deflationsgefahr. Doch die Entscheidung den Banken das Geld noch billiger zur Verfügung zur machen hat sowieso nur noch Symbolcharakter. Längst ist die Geldpolitik wirkungslos geworden - obwohl sie von vornherein das falsche Instrument zur Krisenbewältigung gewesen ist.
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Kern und Peripherie

Interessant, wie gut die durchschnittliche Inflation in der Eurozone die Grenze abbildet zwischen Kern (Ex-DM-Zone) und Peripherie (ClubMed + Irland). Findet ihr nicht auch?

Annualisierte Inflationsraten nach Ländern der EWWU (Quelle: EZB)

Annualisierte Inflationsraten nach Ländern der EWWU (Quelle: EZB)

Dazu passt mein Artikel, dass der durchschnittliche HICP sowieso ein schlechtes Instrument zur Messung der Inflationsrate im Euroraum ist.

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Warum Europa in der Krise steckt

Es ist erstaunlich simpel festzustellen, warum Europa seit beinahe fünf Jahren in der Krise steckt und partout nicht herauskommt. Das eigentliche Problem ist dabei aber kein ökonomisches, sondern ein politisches. Europa hat zwei Krisen, deren Lösung sich gegenseitig ausschließen. Doch es gibt Möglichkeiten dieses Paradoxon zu lösen - aber das wird niemandem gefallen.
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Ströbeles genialer Coup

Dass Hans-Christian Ströbele sein Treffen mit Edward Snowden über Monate im Geheimen geplant und durchgeführt hat, verdient nicht nur Respekt aus operativer Sicht. Nein, auch hat er damit der Debatte und auch seiner Partei einen großen Gefallen getan. Vielleicht ist dieses Treffen und den Brief, den er mitgebracht hat die politische Sensation des Jahres.

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Vorteil: Wahlverlierer

Mit dem Platzen der Sondierungsgespräche zwischen der Union und den Grünen verliert Frau Merkel einen wichtigen Verhandlungsvorteil.
Sie kann nun nicht länger implizit damit drohen mit den Grünen zu koalieren, um die SPD möglichst billig in die Große Koalition zu locken. Ganz im Gegenteil, die Sozialdemokraten sind jetzt Merkels einzige Chance auf eine stabile dritte Amtszeit.
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